БЕРНУЛИЈЕВА ЈЕДНАЧИНА

Решавање многих задатака у динамици флуида заснива се на зависности између основних параметара: притиска, брзине кретања флуида, његове густине и положаја у пољу силе теже (висине у односу на неки нулти ниво). Та зависност за идеалне флуиде у условима стационарног протицања дефинисана је помоћу Бернулијеве једначине.
Посматрајмо струјну цев ( сл. 1 ) толико малог пресека да се интензитет брзине честица у сваком датом пресеку, нормалног на осу цеви, може сматрати једнаким на сваком месту тог пресека. Тада запремина течности која протиче кроз било који пресек цеви у јединици времена остаје стална, пошто се кретање честица течности врши само дуж осе цеви.

sl1
Сл. 1
Узмимо неки елемент запремине који се при протицању течности премешта из положаја 1 у положај 2 ( сл. 1 ). Пошто је узета елементарна запремина може се сматрати да се све честице крећу брзином v1 и да се налазе на истој висини h1 од изабраног нултог нивоа; у положају 2, сагласно томе v2 и h2. Попречни пресеци нормални на осу цеви у тим положајима су S1 и S2.
Рад силе притиска у положају 1 је A1, а у положају 2 је A2. Како је, према једначини континуитета, при стационарном струјању нестишљиве течности: v1=v2=…=v, добија се:

A1=p1∙V,

A2=p2∙V.

Због тога што p1>p2, излази да је A1>A2. Одавде следи да је течност посматраног елемента запремине при померању добила извесну енергију која потиче од разлике рада сила притиска на местима 1 и 2.
Ова разлика једнака је одговарајућој промени кинетичке и гравитационе потенцијалне енергије. Преуређивањем чланова и деобом једначине са V, налази се:

p1 +½∙ρ∙v12+ ρ∙g∙h1 = p2 +½∙ρ∙v22+ ρ∙g∙h2

Где је ρ=m/V – специфична густина течности. Будући да су дати пресеци цеви изабрани произвољно, онда горњи збир чланова остаје сталан за ма који пресек цеви па се коначно добија:

p+½∙ρ∙v2+ ρ∙g∙h = p+½∙ρ∙v2+ ρ∙g∙h=const.

Ово је Бернулијева једначина названа у част Даниела Бернулија, познатог Швајцарског физичара и математичара.
Сва три члана Бернулијеве једначине имају димензије притиска, и називају се:p – статички; ½∙ρ∙v2 – хидродинамички и ρ∙g∙h – хидростатички.

Advertisements